مرحبا جميعا مؤخرا انتشرت معلومة خاطئة بشكل سريع على اﻷنترنيت وهي أن :
1+2+3+4+....+n=-1/12

اﻷمر انتشرت بعد هذا الفيديو  لقناة Numberphile و التي تعود لشخص يدعى Brady Haran  .. و لبيان خطأهم سنناقش الفيديو في محورين (رياضي للرد على الطريقة التي استعملوها للوصول إلى هذه النتيجة و محور ثاني من ناحية الفيزياء النظرية لفهم على ما تعود الصورة من كتاب "نظرية اﻷوثار الفائقة" و الكتوب عليها أن
\sum_{i=1}^{+\infty }n=-\frac{1}{12}

المحور 1 : (رياضيات)
لنقم بتجربة بسيطة للتأكد من اﻷمر :
S(1) = 1
S(2) = 1 + 2 = 3
S(3) = 1 + 2 + 3 = 6
S(4) = 1 + 2 +3 + 4 = 10

...

S(n) = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ n

من خلال الملاحظة اﻷولية نجد أن قيمة المجموع ترتفع كلما ارتفعت قيمة العدد n !
لكن من أيت أتت قيمة ال -1/12 في الفيديو !!

الجواب من علاقة رياضية تدعى دالة زيطا أولير .. للتبسيط أكثر انظر الى المجموع التالي :

S_{n} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}+....+\frac{1}{n^{2}}

لنقم بحساب المجموع من أجل بعض قيم n

 S_{1} = 1 S_{2} = 1 + \frac{1}{2^{2}} = 1.25 S_{3} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}=1.361

...

نلاحظ أن القيم ترتفع بشكل بطيئ و لن تتجاوز العدد  \frac{\pi ^{2}}{6} الذي يساوي القيمة 1.644934

الان لو وضعنا العدد x بدل الرقم 2

 S_{n} = 1 + \frac{1}{2^{x}} + \frac{1}{3^{x}}+....+\frac{1}{n^{x}}

سنحصل على نفس النتيجة و لكن هذه المرة ستؤول S_{n} إلى قيمة أخرى منتهية
وهذه هي ما تسمى بدالة زيتا أولير .. فهي تؤكد أن كل دالة S_{n} تكتب على هذا الشكل تؤول إلى قيمة منتهية "لكل n > 1" وهذا أهم شرط في هذه القاعدة ! فعند أخد قيمة أصغر من  1 لا تبقى هذه القاعدة صالحة و هذا مثال بسيط .. لنجرب أخد -1 كقيمة للأس
 S_{n} = 1 + \frac{1}{2^{-1}} + \frac{1}{3^{-1}}+....+\frac{1}{n^{-1}}  1 + 2 + 3 + .... + n

كما ترون فإن قيمة  S_{n} أصبحت تؤول إلى ما لا نهاية بدل قيمة ثابتة !

حسنا لنتجاوز الان الرياضيات الكلاسيكية و نمر إلى رياضيات من مستوى اخر تبدأ قصتها مع الرياضي الشهير رايمان الذي صاغ ما أصبح يعرف ب"التحليل المركب" أي أنه جعل قاعدة رايمان صاحة حتى للأعداد اﻷصغر من 1 بشكل جعلها تعطينا نتائج منتهية أيضا معتمدا ما يسمى بالامتداد التحليلي لعطينا دالة زيتا رايمان-اولير و التي تكتب على الشكل التالي :
 \zeta (-n)=(-1)\frac{B_{n+1}}{n+1} بحيث B(n) عدد بيرنولي و لها علاقة بأحد نظريات الرياضيات المتقدمة التي تدعى "نظرية اﻷعداد" سنمر مباشرة لقيم أعداد بيرولي دون شرحها ﻷن ذلك لن يكون باﻷمر الهين .. المهم بعد أن اعتمد بيرنولي هذه النظرية حصل على اﻷعداد التالية :

 B_{0}=1  B_{1}^{+-} = +-\frac{1}{2}  B_{2}=\frac{1}{6}  B_{3}=0  B_{4}=\frac{-1}{30}  B_{5}=0  B_{6}=\frac{1}{42}

....

الخ

الان نقوم بحساب قيمة الدالة بالنسبة للعدد -1

 \zeta (-1)=(-1)\frac{B_{2}}{2}  \zeta (-1)=\frac{-1}{12}

الجواب الذي نحصل عليه هو -1\12 !

ونا يقع أكبر خطأ حين يعتبر البعض أن :

 S(-1) = \zeta (-1) = -1/12

فهم بذلك يعتبرون أن دالة زيتا رايمان مساوية لدالة زيتا أولير ! و هذا خاطئ تماما !

الان نعود إلى الفيديو و نجد أن صاحبه ابتدأه بإدعاء سخيف وهو أن
1 -1 + 1 - 1 + 1 - 1  .... = 1\2
لنفترض أن
1 -1 + 1 - 1 + 1 - 1 ....  = x
x + x = 1 -1 + 1 - 1 + 1 - 1 .... = x
2x=x
2=1 !
رأيتم الان الخطأ المنطقي  اللي ارتكبه صاحب الفيديو !!!

المحور 2 (الفيزياء النظرية)

تخبرنا فيزياء الكم أن الفراغ ليس خاليًا، ولكنه ممتلئ بما يسمى بـ"الجسيمات الافتراضية" تظهر إلى الوجود وتختفي طوال الوقت. هذا النوع من النشاط يعطينا طاقة النقطة صفر وهو أن أدنى حد من الطاقة  يمكن أن يمتلكه جسم ما .

عند حساب الكثافة الكلية للطاقة بين الصفيحتين نحصل على المجموع غير المنتهي

1+8+27+64+...

هذا المجموع المنتهي هو نفسه الذي تحصل عليه عندما نأخد x=−3 في دالة زيتا لأويلر:

S(−3)=1+12−3+13−3+14−3+...=1+8+27+64+...

وهذا يوحي بوجود كثافة لا منتهية من الطاقة.وهذا مستحيل عمليا !
حسنا الان سنجرب استعمال دالة زيتا ريمان بدل دالة زيتا لأويلر،الان سوف نحصل على كثافة "منتهية" للطاقة.ولكن هذا يعني أيضا أنه يجب أن تكون هناك قوة جذب بين الصفيحتين المعدنيتين،وهذا غير مقبول أيضا، ﻷن الفيزياء الكلاسيكية تفترض عدم وجود أي قوة بين الصفيحتين.

ولكن المفاجئة هي أنه. عندما قام علماء الفيزياء بالتجربة وجدوا أن ثمة قوة موجودة – وهي تتوافق مع كثافة طاقة تساوي تمامًا ζ(−3)

هذه النتيجة الفيزيائيةتسمى "تأثير كازيمير" (Casimir effect)،
وبالتالي فإنه يبدو أن الطبيعة قد اتبعت الأفكار الموضحة اعلاه و مددت دالة زيتا لأويلر لتجعلها تحتوي على قيم x الأقل من 1، وذلك بطرح "اللانهاية" منها بشكل ذكي، وبالتالي حصلنا على قيمة منتهية مقبولة.

ويرجى التنبيه أن السبب في استعمال كتب الفيزياء النظرية ζ(−1) و S(−1)  بدلًا من ζ(−3) وS(−3)، هو أنه إذا تخيلنا تأثير كازيمير حادثًا في بُعد واحد سنجد أن كثافة الطاقة المحسوبة هي ζ(−1) بدلًا من ζ(−3).

 

المصادر :  1 - 2 - 3 -4 - 5 - 6 -7

شكر خاص ل David Berman

اترك رد

اكتب تعليق
أدخل اسمك هنا