لنعتبر جسما معرفا في معلم  L(\vec{r},\dot{\vec{r}},t) سنقدم الآن مجموعة من القواعد الرسمية التي تشير إلى كيفية احتمال مراقبة مثل هذا الجسيم في نقطة من الزمكان  \vec{r},t

1 - يتم وصف الجسيمات بواسطة الدالة الموجية  \psi(\vec{r},t) بحيث :

\psi : \mathbb{R} \bigotimes \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C}

=========================================

2 - احتمال اكتشاف الجسيم في نقطة من الزمكان :

\left |\psi(\vec{r},t) \right |^{2} = \overline{\psi(\vec{r},t)}\psi(\vec{r},t)

بحيث  \bar{z} هو المرافق المركب ل z

=========================================

3 - احتمال الكشف عن الجسيمات باستعمال كاشف حساسية :

 \int_{\Omega }d^{3}rf(\vec{r})\left | \psi(\vec{r},t)\right |^{2}

بحيث  \Omega هي حجم الفضاء الذي من الممكن أن يوجد به الجسيم .

=========================================

4 - الدالة الموجية \psi(\vec{r},t) موحدة بحيث :

 \int_{\Omega }d^{3}r\left | \psi(\vec{r},t)\right |^{2}=1 \; \; \, \forall t, t \in [t_{0},t_{1}]

وهو شرط يفرض أن احتمال العثور على الجسيمات في مكان ما من الفضاء  \Omega في أي وقت ضمن المجال  [t_{0},t_{1}] موحد

=========================================

5 - تطور  \psi(\vec{r},t) مع الوقت يوصف بالخريطة الخطية التالية :

 \psi(\vec{r},t) = \int_{\Omega }d^{3}r{}'\phi (\vec{r},t|\vec{r{}'},t{}')\psi(\vec{r{}'},t{}')\, \, \, \, \, \, t>{t}',\, \, t,{t}'\, \, \in \, [t_{0},t_{1}]

=========================================


6 - بما أن الخاصية 4 تعمل طول الوقت فإن تابع احتمالية التوزيع موحد أيضا :

 \int_{\Omega }d^{3}r\left | \psi(\vec{r},t)\right |^{2} = \int_{\Omega }d^{3}r\int_{\Omega }d^{3}r{}'\int_{\Omega }d^{3}r{}''\, \phi (\vec{r},t|\vec{r{}'},t{}')\overline{\phi (\vec{r},t|\vec{r{}'},t{}')}\psi(\vec{r{}'},t{}')\overline{\psi(\vec{r{}''},t{}')}

\, \, = \int_{\Omega }d^{3}r\left | \psi(\vec{r},t{}')\right |^{2}\, \, =\, \, 1

وهي تعمل ﻷي  \psi(\vec{r{}'},t{}') بحيث :

 \int_{\Omega }d^{3}r{}'\phi (\vec{r},t|\vec{r{}'},t{}')\overline{\phi (\vec{r},t|\vec{r{}''},t{}')} = \, \delta (\vec{{r}'}\, -\, \, \vec{r{}''})

=========================================

7 - العلاقة التالية المسمات بعلاقة الاكتمال تعود على تابع احتمالية التوزيع :  ( t>{t}',\, \, t,{t}'\, \, \in \, [t_{0},t_{1}])

 \int_{\Omega }d^{3}r\, \phi (\vec{r},t|\vec{r{}'},t{}')\phi (\vec{r}{}',t{}'|\vec{r_{0}},t_{0})\, \, =\, \, \phi (\vec{r},t|\vec{r_{0}},t_{0})

تفسير العلاقة التالية هو : خلال اللحظة  t_{0} ينتج جسيم في نقطة واحدة  \vec{r_{0}} من الفضاء بحيث :  \psi (\vec{r_{0}},t_{0})\, \, =\, \, \delta (\vec{r}\, -\, \vec{r_{0}})

 

و حالة النظام في الوقت t، يتم وصفها ب  \psi (\vec{r},t) و يتطلب ذلك وفقا معرفة حالتها في جميع نقاط الفضاء  \vec{{r}'}\in \, \Omega في بعض اﻷوقات الوسيطة t{}' وهذا يختلف عن الوضع الكلاسيكي الذي يتبع فيه الجسيم مسارا منفصلا، ومن ثم فإنه في أي وقت وسيط لا يحتاج الجسيم إلا أن يعرف في نقطة واحدة، أي النقطة على المسار الكلاسيكي مع الوقت

=========================================

8 - تعميم خاصية الاكتمال ل  N - 1 خلال النقاط الوسطية  t > t_{N-1} > t_{N-2} > ... > t_{1} > t_{0}
هو :

 \phi (\vec{r},t\, |\vec{r_{0}},t_{0} )\, \, =\, \, \int_{\Omega }d^{3}r_{N-1}\int_{\Omega }d^{3}r_{N-2}\int_{\Omega }d^{3}r_{N-3}...\int_{\Omega }d^{3}r_{1}\, \, \, \, \, \, \, \!

 \phi (\vec{r},t\, |\vec{r_{N-1}},t_{N-1} )\phi (\vec{r_{N-1}},t_{N-1}\, |\vec{r_{N-2}},t_{N-2} ).....\phi (\vec{r_{1}},t_{1}\, |\vec{r_{0}},t_{0} )

عند توظيف سلسلة متواصلة من الأوقات المتوسطة  t{}' \in [t_{0},t_{1}]' ينتج التعبير التالي :

 \phi (\vec{r},t|\vec{r_{0}},t_{0})\, \, =\, \, \int \int_{\vec{r}(t_{0})=\vec{r}_{0}}^{\vec{r}(t_{N})=\vec{r}_{N}}d[\vec{r}(t)]\Phi [\vec{r}(t)]

لقد أدخلنا هنا رمزا جديدا، مسار متكاملة :

 \int \int_{\vec{r}(t_{0})=\vec{r}_{0}}^{\vec{r}(t_{N})=\vec{r}_{N}}d[\vec{r}(t)]....

و الذي يدل على تكامل على جميع المسارات  \vec{r}(t) مع نقطة نهاية  \vec{r}(t_{0})=\vec{r_{0}} \, and \, \vec{r}(t_{N})=\vec{r_{N}} سيتم تعريف هذا الرمز أدناه. وسيتحمل التعريف في الواقع عددا لا حصر له من الأوقات المتوسطة ويعبر عن تكامل المسير من خلال تكاملات من النمط  N \rightarrow \infty

=========================================

9 - الوظيفية  \Phi (\vec{r}(t)) في القاعدة 8 هي :

 \Phi (\vec{r}(t)) = exp \left \{ \frac{i}{\hbar}S[\vec{r}(t)] \right \}

بحيث  S[\vec{r}(t)] الفعل التكاملي الكلاسيكي

 S[\vec{r}(t)]=\int_{t_{0}}^{t_{N}}dtL(\vec{r},\dot{\vec{r}},t)

و :
 \hbar = 1.0545 . 10^{-27} erg s

فإن هذه التعابير مبنية على تكاملات العمل لجميع المسارات الممكنة، ليس فقط للمسار الكلاسيكي. أما الحالات التي يتم وصفها بشكل كلاسيكي فسيتم تمييزها من خلال الخاصية التي يعطيها المسار الكلاسيكي التوزيع السائد، و في كثير من الأحيان بشكل أساسي، إلى مسار التكامل . ومع ذلك، بالنسبة للجسيمات المجهرية مثل الإلكترون هناك العديد من المسارات المساهمة وتكامل الفعل للمسارات غير الكلاسيكية تحتاج إلى أن تكون معروفة.

ثابت بلانك المخفض "ثابت ديراك"  \hbar له نفس البعد تكامل الفعل  S[\vec{r}(t)] كما أن قيمته صغيرة للغاية في المقارنة مع القيم النموذجية لتكاملات العمل من الجسيمات العيانية. ومع ذلك، فإنه يشبه تكاملات الفعل لأنها تنشأ للجسيمات المجهرية في ظل ظروف نموذجية. ولإظهار ذلك فإننا نعتبر قيمة تكامل الإجراءات لجسيم من الكتلة m =1 تتحرك على مسافة 1 سم / ثانية في فترة زمنية قدرها 1 ثانية .. وبالتالي تصبح قيمة  S[\vec{r}(t)] حينها :
S_{cl}=\frac{1}{2}mv^{2}t=\frac{1}{2}erg s

في هذا القسم سوف نقدم خوارزمية تحدد مسار التكامل، وفي الوقت نفسه، توفر وسيلة لتقييم تكاملات المسار. ومن أجل التبسيط سوف نعتبر الجسيمات متحركة في بعد واحد مميزة بإحداثيات موقع x
الجسيمات المرتبطة بها لاغرانجيان - Lagrangian
 L(x,\dot{x},t)=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-U(x)

ومن أجل تحديد مسار متكاملة نفترض سلسلة من اﻷوقات  t_{N}>t_{N-1}>t_{N-2}>...>t_{1}>t_{0} "سنترك N تؤول لمالانهاية لاحقا"و الفوارق الزمنية بين  t_{j+1}   و بين  t_{j}   ستكون كلها متطابقة بحيث :
 t_{j+1}-t_{j} =\frac{t_{N}-t_{0}}{N} == \epsilon _{N}

ويؤدي التقييد في الوقت المناسب إلى تقيد المسارات التي سيتم تمثيلها من خلال سلسلة نقاط الزمكان
 \left \{ (x_{0},t_{0}),(x_{1},t_{1}),.....,(x_{N-1},t_{N-1}),(x_{N},t_{N}) \right \}

القيم الزمنية ثابتة مع أن قيم  x_{j} ليست كذلك . ويمكن أن تكون في أي مكان في حجم المسموح به الذي سوف نختار أن يكون هو المجال  ]-\infty ,\infty [ . و عند المرور من نقطة في الزمكان  (x_{t},t_{j}) إلى التالية  (x_{t+1},t_{j+1}) فإننا نفترض أن الطاقة الحركية والطاقة الكامنة ثابتة
 \frac{\frac{1}{2}m(x_{j+1}-x_{j})^{2}}{\epsilon ^{2}_{N}} و قيم  U(x_{j}) على التوالي . وتؤدي هذه الافتراضات إلى نموذج ريمان التالي للتكامل الفعلي
 S[x(t)]=\lim_{N\rightarrow \infty }\epsilon _{N}\sum_{j=0}^{N-1}(\frac{1}{2}m \frac{(x_{j+1}-x_{j})^{2}}{\epsilon ^{2}_{N}}-U(x_{j}))

والفكرة الرئيسية هنا هي أنه يمكن للمرء أن يعوض تكامل المسار  بعدة تكاملات على طول x_{1},x_{2} إلخ ... وهذا يسمح لنا بكتابة معامل التطور  كالتالي :
 \phi (x_{N},t_{N}|x_{0},t_{0})=\lim_{N\rightarrow \infty }C_{N}\int_{-\infty }^{+\infty }dx_{1}\int_{-\infty }^{+\infty }dx_{2}....\int_{-\infty }^{+\infty }dx_{N-1}  exp\left \{ \frac{i}{\hbar}\epsilon _{N}\sum_{j=0}^{N-1}[\frac{1}{2}m\frac{(x_{j+1}-x_{j})^{2}}{\epsilon ^{2}_{N}}- U(x_{j})] \right \}

هنا، c هو ثابت  يعتمد على N (في الواقع  يعتمد على ثابت آخر  في الأس) ونحتاجه للتأكد من أن قيمة النهايةlim السابقة هي :
 C_{N}=[\frac{m}{2\pi i\hbar\epsilon _{N}}]^{\frac{N}{2}}

اترك رد

اكتب تعليق
أدخل اسمك هنا